E P ( [ Y t − 🍊 Y s ] χ F ) = 0 , {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,} em que χ F 🍊 {\displaystyle \chi _{F}} função indicadora do evento F {\displaystyle F} A última condição é denotada como Y s = E 🍊 P ( Y t | Σ s ) , {\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),} que é uma forma 🍊 geral de valor esperado condicional.[ 11 ]
É importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a filtração, como a medida 🍊 de probabilidade (em relação à qual os valores esperados são assumidos).
É possível que Y {\displaystyle Y} seja um martingale em 🍊 relação a uma medida, mas não em relação a outra.
O Teorema de Girsanov oferece uma forma de encontrar uma medida 🍊 em relação à qual um processo de Itō é um martingale.[12]
Exemplos de martingales [ editar | editar código-fonte ]
Um passeio 🍊 aleatório não viesado (em qualquer número de dimensões) é um exemplo de martingale.
O dinheiro de um apostador é um martingale 🍊 se todos os jogos de aposta com que ele se envolver forem honestos.
Uma urna de Pólya contém uma quantidade de 🍊 bolas de diferentes cores.
A cada iteração, uma bola é aleatoriamente retirada da urna e substituída por várias outras da mesma 🍊 cor.
Para qualquer cor dada, a fração das bolas na urna com aquela cor é um martingale.
Por exemplo, se atualmente 95% 🍊 da bolas são vermelhas, então, ainda que a próxima iteração mais provavelmente adicione bolas vermelhas e não de outra cor, 🍊 este viés está exatamente equilibrado pelo fato de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fração de forma muito menos 🍊 significativa do que adicionar o mesmo número de bolas não vermelhas alteraria.
Suponha que X n {\displaystyle X_{n}} moeda honesta foi 🍊 jogada n {\displaystyle n}
moeda honesta foi jogada Considere Y n = X n 2 − n {\displaystyle Y_{n}={X_{n}}^{2}-n} X n 🍊 {\displaystyle X_{n}} { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...
\}} raiz quadrada do 🍊 número de vezes que a moeda for jogada.
raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada.
No caso de 🍊 um martingale de Moivre, suponha que a moeda é desonesta, isto é, viesada, com probabilidade p {\displaystyle p} q = 🍊 1 − p {\displaystyle q=1-p}
X n + 1 = X n ± 1 {\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1} com + {\displaystyle +} 🍊 − {\displaystyle -}
Y n = ( q / p ) X n .
{\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.}
Então, { Y n : n = 🍊 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...
\}} { X n : n = 1 , 2 , 3 🍊 , ...
} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...
\}} E [ Y n + 1 ∣ X 1 , .
.
.
, X n ] = 🍊 p ( q / p ) X n + 1 + q ( q / p ) X n − 🍊 1 = p ( q / p ) ( q / p ) X n + q ( p / 🍊 q ) ( q / p ) X n = q ( q / p ) X n + p 🍊 ( q / p ) X n = ( q / p ) X n = Y n .
{\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid 🍊 X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}}
No teste de razão de verossimilhança em estatística, uma variável aleatória X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle 🍊 g} amostra aleatória X 1 , ...
, X n {\displaystyle X_{1},...
,X_{n}} [ 13 ] Considere Y n {\displaystyle Y_{n}}
Y n 🍊 = ∏ i = 1 n g ( X i ) f ( X i ) {\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}}
Se 🍊 X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} { Y n : n = 1 , 2 , 3 🍊 , ...
} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...
\}} { X n : n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}
Suponha que 🍊 uma ameba se divide em duas amebas com probabilidade p {\displaystyle p} 1 − p {\displaystyle 1-p} X n {\displaystyle 🍊 X_{n}} n {\displaystyle n} X n = 0 {\displaystyle X_{n}=0} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} p {\displaystyle p} [ 🍊 14 ] Então
{ r X n : n = 1 , 2 , 3 , .
.
.
} {\displaystyle \{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}}
é 🍊 um martingale em relação a { X n : n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}
Uma 🍊 série martingale criada por software.
Em uma comunidade ecológica (um grupo de espécies em um nível trófico particular, competindo por recursos 🍊 semelhantes em uma área local), o número de indivíduos de qualquer espécie particular de tamanho fixado é uma função de 🍊 tempo (discreto) e pode ser visto como uma sequência de variáveis aleatórias.
Esta sequência é um martingale sob a teoria neutra 🍊 unificada de biodiversidade e biogeografia.
Se { N t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}} processo de Poisson com 🍊 intensidade λ {\displaystyle \lambda } { N t − λ t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}-\lambda _{t}:t\geq 0\}}
Submartingales, 🍊 supermartingales e relação com funções harmônicas [ editar | editar código-fonte ]
Há duas generalizações populares de um martingale que também 🍊 incluem casos em que a observação atual X n {\displaystyle X_{n}} não é necessariamente igual à futura expectativa condicional E 🍊 [ X n + 1 | X 1 , ...
, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...
,X_{n}]} , mas, em vez disto, 🍊 a um limite superior ou inferior à expectativa condicional.
Estas definições refletem uma relação entre a teoria do martingale e a 🍊 teoria do potencial, que é o estudo das funções harmônicas.
[15] Assim como um martingale de tempo contínuo satisfaz a E 🍊 [ X t | { X τ : τ ≤ s } − X s = 0 ∀ s ≤ 🍊 t {\displaystyle E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}-X_{s}=0\forall s\leq t} , uma função harmônica f {\displaystyle f} satisfaz a equação diferencial parcial 🍊 Δ f = 0 {\displaystyle \Delta f=0} , em que Δ {\displaystyle \Delta } é o operador de Laplace.
Dado um 🍊 processo de movimento browniano W t {\displaystyle W_{t}} e uma função harmônica f {\displaystyle f} , o processo resultante f 🍊 ( W t ) {\displaystyle f(W_{t})} também é um martingale.
Um submartingale de tempo discreto é uma sequência X 1 , 🍊 X 2 , X 3 , .
.
.
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } integráveis que satisfaz a
E [ X n + 1 | 🍊 X 1 , .
.
.
, X n ] ≥ X n .
{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}.
} Da mesma forma, um submartingale 🍊 de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≥ 🍊 X s ∀ s ≤ t .
{\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t.
} Em teoria do potencial, uma 🍊 função sub-harmônica f {\displaystyle f} Δ f ≥ 0 {\displaystyle \Delta f\geq 0} Grosso modo, o prefixo "sub-" é consistente 🍊 porque a atual observação X n {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ...
, X 🍊 n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}
De forma análoga, um supermartingale de tempo discreto satisfaz a
E [ X n + 1 | X 🍊 1 , .
.
.
, X n ] ≤ X n .
{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}.
} Da mesma forma, um supermartingale de 🍊 tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≤ X 🍊 s ∀ s ≤ t .
{\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.
} Em teoria do potencial, uma função 🍊 super-harmônica f {\displaystyle f} Δ f ≤ 0 {\displaystyle \Delta f\leq 0} Grosso modo, o prefixo "super-" é consistente porque 🍊 a atual observação X n {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ...
, X n 🍊 ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}
Exemplos de submartingales e supermartingales [ editar | editar código-fonte ]
Todo martingale é também um submartingale e um 🍊 supermartingale.
Reciprocamente, todo processo estocástico que é tanto um submartingale, como um supermartingale, é um martingale.
Considere novamente um apostador que ganha 🍊 $1 quando uma moeda der cara e perde $1 quando a moeda der coroa.
Suponha agora que a moeda possa estar 🍊 viesada e que ela dê cara com probabilidade p {\displaystyle p} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} 🍊 Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2}
Uma função convexa 🍊 de um martingale é um submartingale pela desigualdade de Jensen.
Por exemplo, o quadrado da riqueza de um apostador em jogo 🍊 de moeda honesta é um submartingale (o que também se segue do fato de que X n 2 − n 🍊 {\displaystyle {X_{n}}^{2}-n}
Martingales e tempos de parada [ editar | editar código-fonte ]
Um tempo de parada em relação a uma sequência 🍊 de variáveis aleatórias X 1 , X 2 , X 3 , ...
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...
} é uma variável aleatória τ {\displaystyle 🍊 \tau } com a propriedade de que para cada t {\displaystyle t} , a ocorrência ou a não ocorrência do 🍊 evento τ = t {\displaystyle \tau =t} depende apenas dos valores de X 1 , X 2 , X 3 🍊 , ...
, X t {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{t}} .
A intuição por trás da definição é que, a qualquer tempo particular t {\displaystyle 🍊 t} , pode-se observar a sequência até o momento e dizer se é hora de parar.
Um exemplo na vida real 🍊 pode ser o tempo em que um apostador deixa a mesa de apostas, o que pode ser uma função de 🍊 suas vitórias anteriores (por exemplo, ele pode deixar a mesa apenas quando ele vai à falência), mas ele não pode 🍊 escolher entre ficar ou sair com base no resultando de jogos que ainda não ocorreram.[16]
Em alguns contextos, o conceito de 🍊 tempo de parada é definido exigindo-se apenas que a ocorrência ou não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau 🍊 =t} seja probabilisticamente independente de X t + 1 , X t + 2 , ...
{\displaystyle X_{t+1},X_{t+2},...
} , mas não 🍊 que isto seja completamente determinado pelo histórico do processo até o tempo t {\displaystyle t} .
Isto é uma condição mais 🍊 fraca do que aquela descrita no parágrafo acima, mas é forte o bastante para servir em algumas das provas em 🍊 que tempos de parada são usados.
Uma das propriedades básicas de martingales é que, se ( X t ) t > 🍊 0 {\displaystyle (X_{t})_{t>0}} for um (sub/super)martingale e τ {\displaystyle \tau } for um tempo de parada, então, o processo parado 🍊 correspondente ( X t τ ) t > 0 {\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}} definido por X t τ := X min 🍊 { τ , t } {\displaystyle X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}} é também um (sub/super) martingale.
O conceito de um martingale parado leva 🍊 a uma série de teoremas importantes, incluindo, por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma que, sob certas condições, 🍊 o valor esperado de um martingale em um tempo de parada é igual ao seu valor inicial.
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